第一章 有理数

    单元教学内容

    1．本单元结合学生的生活经验，列举了学生熟悉的用正、负数表示的实例，从扩充运算的角度引入负数，然后再指出可以用正、负数表示现实生活中具有相反意义的量，使学生感受到负数的引入是来自实际生活的需要，体会数学知识与现实世界的联系．

    引入正、负数概念之后，接着给出正整数、负整数、正分数、负分数集合及整数、分数和有理数的概念．

    2．通过怎样用数简明地表示一条东西走向的马路旁的树、电线杆与汽车站的相对位置关系引入数轴．数轴是非常重要的数学工具，它可以把所有的有理数用数轴上的点形象地表示出来，使数与形结合为一体，揭示了数形之间的内在联系，从而体现出以下4个方面的作用：

    （1）数轴能反映出数形之间的对应关系．

    （2）数轴能反映数的性质.

    （3）数轴能解释数的某些概念，如相反数、绝对值、近似数．

    （4）数轴可使有理数大小的比较形象化．

    3．对于相反数的概念，从“数轴上表示互为相反数的两点分别在原点的两旁，且离开原点的距离相等”来说明相反数的几何意义，同时补充“零的相反数是零”作为相反数意义的一部分．

    4．正确理解绝对值的概念是难点．

    根据有理数的绝对值的两种意义，可以归纳出有理数的绝对值有如下性质：

    （1）任何有理数都有唯一的绝对值．

    （2）有理数的绝对值是一个非负数，即最小的绝对值是零．

    （3）两个互为相反数的绝对值相等，即│a│=│-a│．

    （4）任何有理数都不大于它的绝对值，即│a│≥a，│a│≥-a．

    （5）若│a│=│b│，则a=b，或a=-b或a=b=0．

    三维目标

    1．知识与技能

    （1）了解正数、负数的实际意义，会判断一个数是正数还是负数．

    （2）掌握数轴的画法，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的解．

    （3）理解相反数、绝对值的几何意义和代数意义，会求一个数的相反数和绝对值．

    （4）会利用数轴和绝对值比较有理数的大小．

    2．过程与方法

    经过探索有理数运算法则和运算律的过程，体会“类比”、“转化”、“数形结合”等数学方法．

    3．情感态度与价值观

    使学生感受数学知识与现实世界的联系，鼓励学生探索规律，并在合作交流中完善规范语言．

    重、难点与关键

    1．重点：正确理解有理数、相反数、绝对值等概念；会用正、负数表示具有相反意义的量，会求一个数的相反数和绝对值．

    2．难点：准确理解负数、绝对值等概念．

    3．关键：正确理解负数的意义和绝对值的意义．

    课时划分

    1．1  正数和负数                2课时

    1．2  有理数                    5课时

    1．3  有理数的加减法            4课时

    1．4  有理数的乘除法            5课时

   1．5  有理数的乘方              4课时

第一章有理数（复习）          2课时 

1．1正数和负数

第一课时 

 三维目标

   一．知识与技能

    能判断一个数是正数还是负数，能用正数或负数表示生活中具有相反意义的量．

    二．过程与方法

    借助生活中的实例理解有理数的意义，体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性．

    三．情感态度与价值观

    培养学生积极思考，合作交流的意识和能力．

    教学重、难点与关键

    1．重点：正确理解负数的意义，掌握判断一个数是正数还是负数的方法．

    2．难点：正确理解负数的概念．

    3．关键：创设情境，充分利用学生身边熟悉的事物，加深对负数意义的理解．

    教具准备

    投影仪．

    教学过程

 四、课堂引入

    我们知道，数是人们在实际生活和生活需要中产生，并不断扩充的．人们由记数、排序、产生数1，2，3，…；为了表示“没有物体”、“空位”引进了数“0”，测量和分配有时不能得到整数的结果，为此产生了分数和小数．

    在生活、生产、科研中经常遇到数的表示与数的运算的问题，例如课本第2页至第3页中提到的四个问题，这里出现的新数：-3，-2，-2.7%在前面的实际问题中它们分别表示：零下3摄氏度，净输2球，减少2.7%．

五、讲授新课

（1）、像-3，-2，-2.7%这样的数（即在以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的数）叫做负数．而3，2，+2.7%在问题中分别表示零上3摄氏度，净胜2球，增长2.7%，它们与负数具有相反的意义，我们把这样的数（即以前学过的0以外的数）叫做正数，有时在正数前面也加上“＋”（正）号，例如，+3，+2，+0.5，+，…就是3，2，0.5，，…一个数前面的“＋”、“－”号叫做它的符号，这种符号叫做性质符号．

(2)、中国古代用算筹（表示数的工具）进行计算，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．

(3)、数0既不是正数，也不是负数，但0是正数与负数的分界数．

(4) 、0可以表示没有，还可以表示一个确定的量，如今天气温是0℃，是指一个确定的温度；海拔0表示海平面的平均高度．

用正负数表示具有相反意义的量

（5）、 把0以外的数分为正数和负数，起源于表示两种相反意义的量．正数和负数在许多方面被广泛地应用．在地形图上表示某地高度时，需要以海平面为基准，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，负数表示低于海平面的某地的海拔高度．例如：珠穆朗玛峰的海拔高度为8844m，吐鲁番盆地的海拔高度为-155m．记录账目时，通常用正数表示收入款额，负数表示支出款额．

（6）、 请学生解释课本中图1．1-2，图1．1-3中的正数和负数的含义．

（7）、 你能再举一些用正负数表示数量的实际例子吗？

（8）、例如，通常用正数表示汽车向东行驶的路程，用负数表示汽车向西行驶的路程；用正数表示水位升高的高度，用负数表示水位下降的高度；用正数表示买进东西的数量，用负数表示卖出东西的数量．

六、巩固练习

    课本第3页，练习1、2、3、4题．

七、课堂小结

    为了表示现实生活中的具有相反意义的量，我们引进了负数．正数就是我们过去学过的数（除0外），在正数前放上“－”号，就是负数，但不能说：“带正号的数是正数，带负号的数是负数”，在一个数前面添上负号，它表示的是原数意义相反的数．如果原数是一个负数，那么前面放上“－”号后所表示的数反而是正数了，另外应注意“0”既不是正数，也不是负数．

 八、作业布置

    1．课本第5页习题1．1复习巩固第1、2、3题．

九、板书设计

1．1正数和负数

第一课时 

1、像-3，-2，-2.7%这样的数（即在以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的数）叫做负数．而3，2，+2.7%在问题中分别表示零上3摄氏度，净胜2球，增长2.7%，它们与负数具有相反的意义，我们把这样的数（即以前学过的0以外的数）叫做正数，有时在正数前面也加上“＋”（正）号，例如，+3，+2，+0.5，+，…就是3，2， 0.5，，…一个数前面的“＋”、“－”号叫做它的符号，这种符号叫做性质符号．

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.1正数和负数

第二课时 

三维目标

 一．知识与技能

    进一步巩固正数、负数的概念；理解在同一个问题中，用正数与负数表示的量具有相同的意义．

 二．过程与方法

    经历举一反三用正、负数表示身边具有相反意义的量，进而发现它们的共同特征．

 三．情感态度与价值观

    鼓励学生积极思考，激发学生学习的兴趣．

   教学重、难点与关键

    1．重点：正确理解正、负数的概念，能应用正数、负数表示生活中具有相反意义的量．

    2．难点：正数、负数概念的综合运用．

    3．关键：通过对实例的进一步分析，使学生认识到正负数可以用来表示现实生活中具有相反意义的量．

    教具准备

    投影仪．

    教学过程

    四、复习提问课堂引入

    1．什么叫正数？什么叫负数？举例说明，有没有既不是正数也不是负数的数？

    2．如果用正数表示盈利5万元，那么-8千元表示什么？

   五、新授

    例1．一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值．

    2．2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：

    美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中国增长7.5%．

    写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率．

    分析：在一个数前面添上负号，它表示的是与原数具有意义相反的数．“负”与“正”是相对的，增长-1，就是减少1；增长-6.4%就是减少6.4%，那么什么情况下增长率是0？当与上年持平，既不增又不减时增长率是0．

    解：1．这个月小明体重增长2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg．

    2．六个国家2001年商品进出口总额的增长率分别为：

    美国-6.4%，德国1.3%，法国-2.4%，英国-3.5%，意大利0.2%，中国7.5%．

    归纳：在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义，如盈利-2千元，就是亏本2千元；前进-3米，就是后退3米；浪费-14元，就是节约14元；向南走-7米，就是向北走7米，因此盈利2千元与盈利-2千元具有相反的意义．

 六、巩固练习

    1．课本第5页的第8题．

    点拨：增长-3.4%，就是减少3.4%，所以这一年里这六国中中国、意大利的服务出口额增长了，美国、德国、英国、日本的服务出口额都减少了，意大利增长最多，日本减少最多．

    2．补充练习．

    若向西走10米，记作-10米，如果一个人从A地先走12米，再走-15米，你能判断此人这时在何处吗？

    解：向西走10米，记作-10米，那么这人走12米，则表示向东走12米，再走-15米，表示向西走了15米，即这个人从A地先向东走12米，接着再向西走15米，此人这时应该在A地的西方3米处．

    七、课堂小结

    通过本节课的学习，你对正数、负数的概念是否有了进一步理解？请你用正负数表示身边具有相反数的量．

   八、作业布置

    1．课本第5页习题1．1第4、5、6、7题．

   九、板书设计

九、板书设计

1．1正数和负数

第二课时 

1、复习巩固，例题讲解。

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

 1．2  有理数

第一课时

    三维目标

   一、 知识与能力

    理解有理数的概念，懂得有理数的两种分类方法：会判别一个有理数是整数还是分数，是正数、负数还是零．

    二、过程与方法

    经历对有理数进行分类的探索过程，初步感受分类讨论的思想．

    三、情感态度与价值观

    通过对有理数的学习，体会到数学与现实世界的紧密联系．

    教学重难点及突破

    在引入了负数后，本课对所学过的数按照一定的标准进行分类，提出了有理数的概念．分类是数学中解决问题的常用手段，通过本节课的学习，使学生了解分类的思想并进行简单的分类是数学能力的体现，教师在教学中应引起足够的重视．关于分类标准与分类结果的关系，分类标准的确定可向学生作适当的渗透，集合的概念比较抽象，学生真正接受需要很长的过程，本课不宜过多展开．

    教学准备

    用电脑制作动画体现有理数的分类过程．

   教学过程

 四、课堂引入

    1、我们把小学里学过的数归纳为整数与分数，引进了负数以后，我们学过的数有哪些？将如何归类？

    2．举例说明现实中具有相反意义的量．

    3．如果由A地向南走3千米用3千米表示，那么-5千米表示什么意义？

    4．举两个例子说明+5与-5的区别．

    5．数0表示的意义是什么？

    二、自主探究

    在学生讨论的基础上，引导学生自己进行有理数的分类，我们学过的数就可以分为以下几类：

    正整数，如1，2，3，…；

    零：0；

    负整数，如-1，-2，-3，…；

    正分数，如，，4.5（即4）；

    负分数，如-，-2，-0.3（即-），-……

    正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数，整数和分数统称有理数．

    回答下列各题：

    （1）0是不是整数？0是不是有理数？

    （2）-5是不是整数？-5是不是有理数？

    （3）-0.3是不是负分数？-0.3是不是有理数？

    2．你能对以上各种数作出一张分类表吗（要求不重复不遗漏）？

    让学生把自己作出的分类表进行分类，可以根据不同需要，用不同的分类标准，但必须对讨论对象不重不漏地分类．把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集．所有的有理数组成的数集叫做有理数集．类似的，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，如此等等．

    五、题例精解

例  把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：-18，，3.1416，0，2001，-，0.142857，95%

   六、随堂练习

    一、判断

    1．自然数是整数．        （  ）    2．有理数包括正数和负数．（  ）

    3．有理数只有正数和负数．（  ）    4．零是自然数．          （  ）

    5．正整数包括零和自然数．（  ）    6．正整数是自然数．      （  ）

    7．任何分数都是有理数．  （  ）   8．没有最大的有理数．    （  ）

    9．有最小的有理数．      （  ）

 七、课堂小结：（提问式）

    1．有理数按正、负数，应怎样分类？

    2．有理数按整数、分数，应怎样分类？

    3．分类的原则是什么？

八、课后作业：

1．课本第14页习题1．2第1题．

九、板书设计：

1．2  有理数

第一课时

1、复习巩固，例题讲解。

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业

十、课后反思

1.2.2数轴

  第二课时

    三维目标

   一．知识与技能

    （1）掌握数轴三要素，能正确地画出数轴．

    （2）能准备地将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数．

   二、过程与方法

    经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，初步学会数学的类比方法和数形结合的思想方法．

   三、情感态度与价值观

    体会知识源于生活，并应用于生活．

    教学重、难点与关键

    1．重点：理解数形结合的数学方法，掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数．

    2．难点：正确理解有理数和数轴上的点的对应关系．

    3．关键：掌握数形结合的数学方法．

    教具准备

    投影仪．

    教学过程

   四、复习提问、新课引入

    1．有理数包括哪些数？有理数是怎样分类的？

    2．回顾小学数学是如何利用数轴表示正数和零的？

   五、新授

    引入负数后，又如何利用数轴表示有理数呢？让我们先看一个问题．

    在一条东西走向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．

    1．画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向．

2．因为柳树、杨树都在汽车站的东面，即在汽车站的右边．槐树、电线杆在汽车站的西面，即在汽车站的左边，它们都相对汽车站而言，所以在直线上任取一个点O表示汽车站的位置，规定1个单位规定．（线段OA的长代表1m长）（如下图）

    3．分别标出柳树、杨树、槐树、电线杆的位置．

    在点O右边，与O距离3个单位长度的点B表示柳树的位置：点O右边，与O点距离7.5个单位长度的点C表示杨树的位置；点O左边，与点O距离3个单位长度的点D表示槐树位置；点O的左边，与点O距离4.8个单位长度的点E表示电线杆的位置．

    问：怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系？（方向、距离）

    为了使表达更清楚、更简洁，我们把点O左右两边的数分别用正数和正数表示．符号表示方向，点O的左边表示负数，点O的右边表示正数．

    这样就可以简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系了．

    这里，-4.8中的负号“－”表示汽车站（点O）的左边，4.8表示与点O的距离为4.8个单位长度．

    说明：以上分析，教师应边讲边画，分步进行．

    观察后回答：（课本第11页）温度计可以看作表示正数、0和负数的直线吗？它和课本图1．2-1有什么共同点，有什么不同点？

    答：可以，课本图1．2-2也是把正数、o和负数用一条直线上的点表示出来，它是向上方向为正（即0的上方表示正数，0的下方表示负数），只要把温度计水平放下就与课本图1．2-1相同了．

    一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：

    （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，记为0；

    （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

    （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…．

    像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

    原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素，缺一不可．

    单位长度的大小可以根据不同的需要选择．

任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，例如3.5，数轴上从原点向右3.5个单位长度的点表示3.5，又如要表示-2，从原点向左2个单位长度的点就表示-2，如下图．

    归纳：先由学生填空，然后教师加以讲评．

    六、巩固练习

    1．请同学们在练习本上画一条数轴．

2．下面的各图是不是数轴？为什么？

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