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人教版九年级数学下册知识点总结


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第二十六章、反比例函数

知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质        

1.反比例函数的概念

(1)定义:形如y=(k≠0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的取值范围是非零的一切实数.

(2)形式:反比例函数有以下2种基本形式:

y=;②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数,且k≠0)

例:函数y=3xm+1,当m=-2时,则该函数是反比例函数.


2.反比例函数的图象和性质

k的符号

图象

经过象限

yx变化的情况

k>0

图象经过第一、三象限

(x、y同号)

每个象限内,函数y的值随x的增大而减小.

k<0

图象经过第二、四象限

(x、y异号)

每个象限内,函数y的值随x的增大而增大.

3.反比例函数的图象特征

(1)由两条曲线组成,叫做双曲线;

(2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交;

(3)图象是中心对称图形,原点为对称中心;也是轴对称图形,2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线.

4.待定系数法

只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数k即可.例:已知反比例函数图象过点(-3,-1),则它的解析式是y=3/x

知识点二 :反比例系数的几何意义及与一次函数的综合

5.系数k的几何意义

(1)意义:从反比例函数y=(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.

(2)常见的面积类型:

失分点警示

已知相关面积,求反比例函数的表达式,注意若函数图象在第二、四象限,则k<0.

例:已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比例函数解析式为:

6.与一次函数的综合

(1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性,可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解.

(2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解



(3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系,可采用假设法,分k>0和k<0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.

(4)比较函数值的大小:主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方的值小,结合交点坐标,确定出解集的范围.



涉及与面积有关的问题时,①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积;②也要注意系数k的几何意义.

例:如图所示,三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为:S△AOC=S△OPES△BOD


知识点三:反比例函数的实际应用


  1. .一般步骤

(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系;

(2设出函数表达式;

(3)依题意求解函数表达式;

(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.



第二十七章、相似

知识点一:比例线段          


  1. 比例

线段

在四条线段abcd中,如果ab的比等于cd的比,即,那么这四条线段abcd叫做成比例线段,简称比例线段.

2.比例

的基本性质

(1)基本性质: adbc;(b、d≠0)

(2)合比性质:;(b、d≠0)

(3)等比性质:=…=k(bd+…+n≠0)⇔

k.(b、d、···、n≠0)


第二十八章、锐角三角函数

知识点一:锐角三角函数的定义            



第二十九章、投影与试图

知识点一:三视图            内 容

1.三视图

主视图 俯视图  左视图

2.三视图的对应关系

(1)长对正:主视图与俯视图的长相等,且相互对正;

(2)高平齐:主视图与左视图的高相等,且相互平齐;

(3)宽相等:俯视图与左视图的宽相等,且相互平行.

3.常见几何体的三视图常见几何体的三视图

正方体:正方体的三视图都是正方形.

圆柱:圆柱的三视图有两个是矩形,另一个是圆.

圆锥:圆锥的三视图中有两个是三角形,另一个是圆.

球的三视图都是圆.

例:长方体的主视图与俯视图如图所示,则这个长方体的体积是36 .

知识点二 :投影

4.平行投影

由平行光线形成的投影.

在平行投影中求影长,一般把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比,列出方程,通过解方程求出的影长.

例:小明和他的同学在太阳下行走,小明身高1.4米,他的影长为1.75米,他同学的身高为1.6米,则此时他的同学的影长为2米.

5.中心投影

由同一点(点光源)发出的光线形成的投影.



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