哈代：不仅仅是数学家

►哈代（Godfrey Harold Hardy,1877-1947）

撰文 | 胡作玄（中国科学院系统科学院研究所研究员）

责编 | 艾维、姚兰婷

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哈代（Hardy）这个姓在英国并不罕见，当然，最享盛名的当推 19 到 20 世纪之交的大诗人、大作家托马斯 • 哈代（Thomas Hardy，1840—1928），而其次就属这里要介绍的 20 世纪上半世纪的大数学家哈代，尤其对钟爱解析数论的中国人更是如此。对于一个一生未婚，一门心思专搞数论某个难题的人，本来没有什么好写的，但哈代我们得另眼相看。首先哈代并非一个狭隘的数学专家，而是一位数学大家，现代解析数论的开拓者。尽管方法不断改进，结果不断翻新，解析数论却没有背离他在七八十年前所指的方向。再有，哈代是第二次振兴英国数学的革新者，如果不说是革命者的话。19 到 20 世纪之交的英国数学早已沦为二、三流，正是哈代等人把英国数学带到国际领先地位。除此之外，哈代对世界、 对社会尤其对科学、对数学有一套独特的“怪”想法。一说怪，往往会令人想起某些无聊的怪人怪事，但哈代的是一种世界观， 我愿称之为 “哈代主义”。

哥德符莱 • 哈罗德 • 哈代（Godfray Harold Hardy）于1877年2月7日生于伦敦东南部萨里郡的克兰累。他父亲艾萨克 • 哈代是克兰累中学预科部艺术教师兼财务主任及舍监。他的母亲索菲亚（Sophia）是林肯师范学校的高级教师。他的双亲都特别能干，有数学头脑，他们都只是因为没钱才没能进大学受教育。他们只有一子一女。

小哈代从小对数字就很感兴趣，两岁时他就求他的父母教他把数字从1写到几百万。父母带他上教堂时，他就把赞美诗的号数来分解因子打发时间，这后来成了他终生的习惯，不管是车厢号码还是出租车的车号，他都研究研究，看有什么好的性质。

他和他的妹妹是在一所典型的幼儿园里长大的，这两个聪明的孩子总是用一些问题难住他们的阿姨。他们怀疑祈祷是否有用，圣诞老人是否存在。“圣诞老人送我礼物为什么还要把价钱标在上面？我的文具盒上标有 3s、6p（3 先令 6 便士）”。他们的父母教育孩子有自己一套理论，给他们读的书不多，但都是名著。小哈代在幼儿园时已经能给他妹妹读《吉诃德先生》、《格列佛游记》和《鲁滨逊漂流记》了。保育员指点他们读、写，而从来没有教师教，他们的父母让他们自己学会一切。小哈代雄心勃勃，8 岁时自己就编写一张小报， 其中有社论， 有首相威廉 • 格莱斯通 （William Ewart Gladstone， 1809—1898， 1868年、1880 年、1886 年、1893 年作为自由党魁四度任首相）的演说，还有各种商业广告以及板球比赛的报道及投球的分析，这显示他多方面的兴趣及才华。遗憾的是，这张小报在伦敦轰炸中化为灰烬。他还计划写一部英格兰史，由于材料太多没能完成，但现在还保存他为这本书画的两幅精美插图，这也显示他来自父亲方面的艺术才能，不过他对音乐并没有什么兴趣。

他年纪相当大时才上克兰累中学。12 岁时参加第一次考试，在数学、拉丁文及绘画方面取得优胜。当时克兰累中学水平很低，这样优秀的成绩极为罕见，于是他被送到温彻斯特，在那里受到了赏识。这样，12 岁的哈代获得温彻斯特学校的奖学金，这所学校在当时以及很久之后在英格兰都是数学教育最好的。这所学校很怪，数学课只有学院院长理查德逊（Richardson）博士给他一个人上，古典学他也是班上最好的。正如维多利亚时代的公学一样，学校生活严格而艰苦，斯巴达式的训练差点使他送了命。虽然他后来不太情愿地承认他受的是良好教育，但他还羡慕里特伍德（J.E.Littlewood 1885—1977）那种在一般文法学校上学时所过的轻松愉快的生活。他恨这所学校，离开后从不愿再回去看看；不过他还是沿着学校为他规定的道路走下去，一直到进入剑桥大学三一学院。他读过马歇尔夫人的小说《三一学院研究员》，他想像小说中的主人公那样成为其中一员。

哈代对剑桥的生活和学习也不太满意， 从牛顿时代到20世纪初一直是老一套教学方式，学数学就是为了通过所谓数学荣誉学位考试（Tripos），这种考试都是一些机械性的难题，只要学生按部就班跟着学就能解出，并不需要有什么创造性和想象力。按照分数的顺序评出第一等第几名，第一名称为优胜者（Senior Wrangler），他和二、三名一般都能立即被选为研究员（Fellow，也有人译为院士）。选上研究员以后，他可以享受一定的待遇，七年里愿意干什么就干什么。

1896 年秋，哈代进入三一学院，他就在这个体制之下接受训练，就像一匹赛马一样。每人有一位导师，他的导师是韦布（Webb）博士，许多考试优胜者出自他的门下。导师给他留大量的练习，并指导他解题的诀窍，头一学期他就感到这一切毫无意义。他一度想改行学历史，后来还是想找一位真正的数学家指点指点他，正如他在《一位数学家的自白》中所说：“拉夫（Love, 1863—1940）教授第一次打开我的眼界，他教过我几个学期，使我对数学分析开始有了一个真正的概念。不过他毕竟主要是位应用数学家，他给我的最大教益还是他建议我去读若尔当（C.Jordan，1838—1922）著名的《分析教程》，我永远也忘不了我读这本伟大著作所带来的惊喜，他对我这一代许多数学家给予最早的鼓舞。在我读它的时候，我才第一次了解数学的真正含义何在。从这时起，我才走上了成为一位具有健康的数学志向，对数学有真诚热情的真正数学家的道路”。

1898 年，他在数学荣誉学位考试中得了第四名，虽然他认为这种考试是可笑的，但他承认，这个成绩使他恼火，他是位真正的竞争者，觉得自己应该能赢。到 1900 年数学荣誉学位考试第二部分（其中有一些真正的数学）时，他终于如愿以偿，得到第一等第一名，第二名是著名物理学家琴斯（J.H.Jeans，1877—1946）。同年他也得到研究员资格。1901 年他和琴斯获得史密斯奖金，这时，他的研究生涯正式开始。

从 1900 年到 1910 年他被选为英国皇家学会会员时，他做了大量工作。这 10 年，他有足够时间去搞数学研究，也不为生活发愁。1906 年他被任命为讲师，1914 年任凯雷讲座讲师。他在剑桥第一时期一直持续到 1919 年。在这期间通常教两门课，一门是初等分析，一门是函数论，每周上 6 个课时。头一门课中的积分部分，后来成为他的第一本书《单变量函数的积分》。1905 年出版这本书的重要意义在于把系统化的欧洲大陆数学引进英伦三岛。比这本书影响更大的是 1908 年出版的《纯粹数学教程》，这本书给英国的数学分析奠定一个严格基础，形成了 20 世纪英国数学分析的面貌。这本书到 1952 年印行了 10 版，其中 9版是他生前出版的，并且多次重印。虽然这书比不上欧洲大陆一些大部头名著，但具有英国特色，是最早严格论述分析的英文书。

哈代在一生中主要从事数论及古典分析的研究，这决定了这个领域在 20 世纪发展的方向。但是，他对世纪之交数学的结构变化也是十分注意，并进行一定的研究及推广。从1900 年到 1910 年，他写过 5 篇集合论的论文，着意于保莱尔（E.Borely，1871—1956）及勒贝格（H.Lebesgue，1875—1941）等人的测度及积分理论，尤其推崇希尔伯特（Hilbert，1862—1943）的数学工作、罗素（Russell，1892—1970）等人关于数理逻辑的研究。

到1910年，33岁的哈代可以说是功成名就了。可是，这些成就充其量也不过是 19 世纪末的英国数学的最好水平，比起欧洲大陆的数学差远了，而其后 20 年的成就决不仅仅是百尺竿头，更进一步，而是把自己的数学同时也把英国的数学推向一个新高峰。比起这些成就来，前十年的百余篇论文可以忽略不计。这种中年跃上顶峰实在得力于他的两位合作者——里特伍德和印度奇才拉曼努詹（S.A.Ramanujan，1887—1920）。

1911 年他结识了里特伍德时，他 34 岁，里特伍德才 25 岁，里特伍德虽然只研究数学三四年，其成就之大、实力之强决不在哈代之下。里特伍德当然早就知道哈代，而哈代也不是刚刚才知道里特伍德的名字。1907 年1月1日，里特伍德头一篇函数论的论文，提交给伦敦数学会，文章中用初等方法处理了用高等分析方法所不能处理的 0 级整函数，让专家产生怀疑。第一位、第二位审稿人都反对发表，幸好，哈代被指定为第三审稿人。正是他为这位年轻人的处女作开了绿灯。1910 年，里特伍德由曼彻斯特大学回到剑桥大学三一学院，1911 年，他们开始了 35 年之久的合作，很快就产生出一系列的成果，除了级数求和理论之外，首先在丢番图逼近上取得突破。不久，这种富有成效的合作有一些停顿，原因有二：1914 年 6 月第一次世界大战打了起来，里特伍德到军队服役，同时印度神童拉曼努詹的到来正好填补里特伍德留下的真空。

拉曼努詹与我们所说的通常意义的数学家不同，他有一种特殊的灵感和直觉，发现了成千个公式，却没有很好地给出通常意义的证明。许多数学家为证明他的一些公式伤透了脑筋，但收效甚微，人们无法理解他是怎样“猜”出这些结果的。现在关于他的书已有十几种之多，拉曼努詹现象仍是数学中的一个谜。不过，最重要的是，要不是哈代“发现”了拉曼努詹， 拉曼努詹这块数学宝藏真不知要埋没多少年！虽说， 哈代自己也对自己 “发现”拉曼努詹评价甚高，但是这个“发现”却是拉曼努詹自己送上门的。

拉曼努詹比哈代小十岁，1887 年 12 月 22 日，生于印度马德拉斯坦乔尔区昆巴科南镇的埃罗德，他家属于印度最高种姓——婆罗门，他同家里人一样，严格遵守婆罗门教的戒律，最尊崇的神是纳玛卡尔女神。他的父亲在昆巴科南镇一个布商那里当会计，他和他的亲戚虽然种姓很高，但都很贫困。拉曼努詹 7 岁到昆巴科南镇中学上学，一共 9 年。他不到 10 岁就显示出特别的才能，十二三岁大家一致认为他不同寻常。还没有念三角时，他已独立发现欧拉的正弦、余弦公式，一直到后来他才在龙内（Loney）的《三角》第二卷找到这个公式，他很失望。在中学期间，由于条件所限，他没读过任何一本高等数学书，他感兴趣的数学书只有乔治•卡尔（George S.Carr）所写的《纯粹及应用数学的初等结果大纲》二卷（1880，1886），这本三流的教科书为他打开了一个新世界。书中有 6165 个定理，拉曼努詹一个一个去推导，求出证明。就这样他完全靠自学学完代数、解析几何、三角和微积分，但是很难说他懂得欧洲数学中证明的含义。 1903年12月， 他通过马德拉斯大学的入学考试， 1904年1月，他进入昆巴科南镇行政学院文科初级班学习，并因他英语及数学成绩优秀而获得奖学金。不过入学之后，听必修课时，他不专心听讲，一心研究他的数学，结果不能升到高级班，连奖学金也取消了， 他很失望， 在朋友的劝说下， 他到泰卢固去游学， 没有成功， 又回到昆巴科南，还是由于心不在焉，1905年期终考试又失败了，1906年他又进入马德拉斯市的帕查亚巴学院，不久生病回到昆巴科南。1907 年底，他以自学资格参加初级文科考试，还是以失败告终。由于没有大学文凭，他一直没有找到一个固定职业，1909 年结婚使他受到更大的经济压力。他托有势力的朋友帮他，一直到 1912 年在马德拉斯港务信托局找到一个小职员的工作，年薪只有 20 镑。正在这时，他的文章陆续发表了，两位英国人帮他弄到 60 镑一年的奖学金，为期两年，这足够已婚的印度家庭过上像样的生活了。1913 年 1 月 16 日，他写信给哈代，信中要求去英国，还寄来自己关于素数定理的研究以及一些未加证明的公式。哈代由这些不寻常的公式中看出这是个天才，于是他和内维尔教授化了很大力气，使拉曼努詹得以成行。拉曼努詹 1914 年 4 月来到英国，哈代发现，他虽是位天才，但是一点训练都没有，他的数学知识完全靠自学，他不懂得什么是证明，也不懂得近代数学的严格性意味着什么。他和哈代谈数学还可以，谈到数学以外事情就莫名其妙不知所云了。为了有共同语言，哈代耐心地教拉曼努詹一些正式的数学，大致相当于他在温彻斯特学院的水平。拉曼努詹没有听说过大部分近代数学，却有深刻的数学眼光，这对哈代来讲真是不可思议。他曾经说过，要是拉曼努詹受到更好的教育， 那他就不那么像拉曼努詹了。 后来哈代又反悔， 他说这句话是胡说， 应该改成，要是拉曼努詹受到更好的教育，他要比拉曼努詹还要更神！不管怎么说，在一次大战时的黑暗岁月中，同拉曼努詹的交往实在是一种极大的慰藉。

拉曼努詹在英国 5 年间写了 20 多篇论文，其中有 2 人合作的五篇高质量的论文，哈代认为在这期间自己的创造性也得到了充分的发挥。他们的工作主要是数的分拆，这是加法数论最老的问题，而在这个研究中，又创造了对华林（Waring）问题至关重要的圆法。在这期间，他研究第二个古老的加法数论问题——平方和表法数问题。1917 年夏，拉曼努詹病倒，一直没有恢复。虽然哈代经常去看他，他还是思乡心切，最终于 1919 年拉曼努詹离开了英国，回到马德拉斯，1920 年因肺结核去世。哈代第一个写出讣文，他十分怀念这位天才，在其后十多年里，他研究他的公式，整理他的工作，传播他的奇妙的数学。1927 年由他主编的拉曼努詹文集问世。 在第二次世界大战的艰苦岁月里， 他的文集 《拉曼努詹》 （副标题是关于其生平及工作的十二次讲演）（1940）问世，这些都为传播拉曼努詹的思想做出决定性的贡献。恐怕可以这么说，没有哈代，也就没有拉曼努詹的数学。要知道在哈代之前，拉曼努詹曾寄手稿给两位英国数学家，但都被原封退回了。哈代不仅帮助拉曼努詹工作，而且帮助拉曼努詹获取他本不易得到的荣誉——1917 年他被选为剑桥三一学院的研究员，1918 年，拉曼努詹又被选为皇家学会会员。

剑桥大学三一学院可以说是英国数学的中心，不过哈代在这里并不很愉快，原因之一是罗素（Russell）事件。罗素是他的老师和朋友，他不仅信奉罗素的数理逻辑，也同情他的政治思想，特别是反战态度。1916 年，剑桥三一学院因罗素的反战活动而取消了他的讲师资格。哈代、里特伍德等 22 人联名反对未成后，1919 年，罗素出狱后也未能恢复讲师资格，这些措施令哈代感到气愤，所以一当牛津大学为他提供赛维里讲座几何学教授职位时，他二话没说就去了牛津。也是在二次大战期间，他出版了《罗素与三一学院》一书（1942），是这个事件的唯一记录。

►哈代

1919 年秋，哈代移居牛津大学新学院居住。当时新学院人数不多，彼此之间亲密无间，牛津同仁的友好气氛让他感到如在家一样温暖，这是他在剑桥时从来没有感受过的。他们常常一起谈论各式各样的题目，并且参加各种体育活动。许多人急于想听他谈论什么，他们接受他的怪僻， 他们知道， 他不仅是位伟大的人物， 是个好人， 也是一个十分有趣的人物。这反过来使他谈话的本领日臻完善，谈话成为他喜欢玩的一种游戏，有时候听的人往往不太容易了解他的真正意见究竟是什么。在牛津期间，他也参加许多政治及社会活动。他的政治态度比较激进，有人传言在他的房间里有一幅列宁像。他的观点不系统，有些观点来自罗素，另外一些则是他固有的。他出身于知识分子家庭，接触的多是上层资产阶级人士，他似乎不太喜欢这些人的市民习气，他行为举止更像贵族。他也喜欢同下层人物打交道，而不喜欢主教、法官、政客等“社会中坚”，而对拉曼努詹这样的人却非常友善。从中学时期，他已经不信教了。有意思的是，他把上帝看成他的敌人。为了表示他的信念，他一度担任社会公职。1924 年到 1926 年，他任科学工作者协会主席，这是一个相当工会的组织，他自嘲说， 这是一种奇怪的选择， 因为自己是 “世界上最不实际的职业中最不实际的一员” ，不过， 正如后来C.P.斯诺 （C.P.Snow，1905—1980） 所说， 在重大问题上， 他并非那么不实际。

在数学界，他也从事许多有益工作，他演讲和写作都很出色，他的著述深入浅出、耐人寻味， 在传播数学知识方面做出许多贡献， 对他自己研究以外的领域也发表许多通俗文章，例如 1925 年在《数学杂志》上写的“几何学是什么？”。同时他也整理许多零散问题成为新方向，突出的是他与里特伍德和 波利亚（G.Polya，1887—1985）合著的《不等式》（1934）。1928 年，格 莱 舍 尔（J. W. L.Glaisher， 1848—1928）去世，其编辑的《数学信使》（Message of Mathematics）及老的《数学季刊》（Quarterly Journal of Math）自动停刊。于是他在牛津筹办《数学季刊牛津版》，这个杂志对英国数学特别对牛津数学发展有着极大助益。1926年到 1928 年，他第一次当选伦敦数学会主席（1939 年到 1941 年，他再次当选伦敦数学会主席），他的谢职演讲就是论不等式的。在这前后，他几乎连续地担任数学会的执委会委员或秘书，他可以说是伦敦数学会活动最积极的参加者。从他 1917 年任该会秘书以来，他几乎一次不落地参加每一次学会，听完每个报告，执委会开会也是每次必到，从不缺席。1929 年他荣获学会最高荣誉德 • 摩根（de.Morgan）奖章。

在牛津期间，他开始培养学生，许多未来英国数论及分析大家出自他的门下。如梯其马什（E.C.Titchmarsh，1899—1963）、达文波特（H.Davenport，1907—1969）等人。他们、他们的学生、学生的学生一直让英国的解析数论在世界上独占鳌头。

1928 年，他被请到剑桥作卢斯•鲍尔（Rouse Ball）演讲，演讲的题目是“数学的证明”，这反映出他对数学基础的兴趣。他的思想主要来自罗素，他在牛津也多次给哲学家讲述数学基础，引起广泛兴趣。1928—1929 年度，英美两国交换学者，哈代到美国普林斯顿大学和加州理工学院任访问教授。

牛津时期是他数学研究取得丰硕成果的时期，其中最突出的成就几乎都是他和里特伍德合作得到的。这时，他和里特伍德一人在牛津，一人在剑桥，几乎完全靠通信来合作的。这种数学史上最富有成果的伟大合作是怎样进行的呢？丹麦数学家哈拉德•玻尔（HaraldBohr，1887—1951）在一次讲演中曾读到他们的合作遵守四条公理：

1. 当一个人写给另一个人时，所写的是对还是错不必介意。

   
   

2. 当一个人收到另一个人的信时，他不必非得去读它，更不用说答复了。

   
   

3. 假如他们同时都想到同样的细节，虽然说这实际上没什么关系，但最好还是不要这么干。

   
   

4. 在他们联名发表的论文中，如果其中一人连一点贡献也没有，那也完全不要紧。

   
   

他们几乎很少背离这些公理，通常是里特伍德把所有数学的要点的骨架都搭好，写成倒数第二稿，然后哈代加进所谓“空话”，按照哈代所擅长的，写成一篇漂亮论文。哈代往往把功劳的一半归功于他的合作者，他总是称赞他的合作者，尤其是拉曼努詹及里特伍德。但不难看出，哈代往往起着一个舵手的作用。他的哲学及眼界常常决定后来一门学科的发展方向。里特伍德少有的结合技术和能力以及攻坚本领使这两位大数学家的合作相得益彰。

1931 年 4 月，剑桥大学教授霍布森（E. W Hobson，1856—1933）退休，留下塞德勒（Sadleir）讲座纯粹数学教授职位，聘请哈代就任。出乎人们意料之外，哈代接受了聘请于 1931 年秋重返剑桥。据斯诺分析，其中有两个原因。头一个原因也是决定性的原因：归根结底剑桥才是英国数学的中心，作为英国最伟大的数学家，理应就任数学界最显赫的席位。第二个原因也许更实际一些，54 岁的哈代考虑他的年老和退休问题。在牛津新学院，一旦他在 65 岁退休之后，他就得从办公室及住所迁出腾给他的继任人，而在剑桥三一学院，他可以住在那里一直到死。对于年过半百的哈代来说，虽然还很快乐，虽然还富有创造力，终究岁月不饶人，现实的考虑还是必要的。1931 年以后，他发表的论文数量减少了，占他论文总数约 300 篇的三分之一还少，而且大部分是合作的，特别是同里特伍德合作。不过，作为一位成熟的数学家，却写了五部专著，另外还有两本书。这些专著多次再版，影响一直不衰。尤其是与莱特（E.M.Wright）合著的《数论导引》（1938 年第一版，1945 年第二版，1954 年第三版，1960 年第四版，1979 年第五版，多次重印），至今仍是最好的数论入门书，在上百册同类书中，仍是首屈一指不能替代的。

30 年代的西方社会处在一个极为困难的时期，大萧条的蔓延使广大人民的物质生活贫困而艰辛，希特勒在德国掌权使得政治形势变得更加尖锐复杂。也正是在这时候，以哈代-里特伍德为首的剑桥数学学派再次使英国数学复兴。这时剑桥不仅是英国数学的中心，而且也成为国际性的中心。由于法西斯上台，哥廷根以及柏林、汉堡作为国际数学中心急剧衰落，代之而起的是法国的巴黎、丹麦的哥本哈根，美国的哈佛及普林斯顿，同时苏联的莫斯科及列宁格勒以及波兰的华沙也都形成各自的中心。但是在 30 年代，所有这些中心都比不上剑桥。来往于剑桥的不仅有世界著名的物理学大家，如 索末菲（Arnold Sommerfeld，1868—1951）、玻尔（Niels Bohr，1885—1962）、玻恩（Max Born，1882—1970）、英菲尔德（Leopold Infeld，1898—1968）等，而且老一代及年轻一代数学家更是这里的常客。各国数学界的头面人物， 如法国数学家班勒卫 （Paul Painlevé ， 1863—1933） 、弗莱歇 （Maurice René Fréchet，1878—1973）、德国数学家朗道（Edmund Landau，1877—1938）、外尔（Hermann Weyl，1885—1955）、库朗（Richard Courant，1888—1972）、哈塞（Helmut Hasse， 1898—1979）、 美国数学家柏克霍夫 （G. D. Birk-hof， 1884—1944） 、凡布仑 （1880—1960），亚历山大（J. W. Alexander，1888—1971）、维纳（Norbert Wiener，1894—1964）以及玻尔（Harald Bohr，1887-1951）及卡拉瑟道里（Caratherdory ，1873—1950）等。在此期间，中国的华罗庚及柯召也在剑桥进修，他们都得到哈代的支持和鼓励。

1936 年秋，哈代到美国参加哈佛大学 300 周年校庆活动，以拉曼努詹为题作了一系列演讲，这些演讲连同在普林斯顿大学及剑桥大学的讲课内容凑成十二篇结集后于 1940 年出版。这本书不仅全面介绍拉曼努詹在各方面的工作，而且是数论专题的导引，许多章节还包含拉曼努詹以后 20 年的成果。

在 30 年代，哈代仍像过去那样过着他那种独特的“年轻人”的生活。他喜欢体育运动，好打网球，但比什么都着迷的是板球，除了数学之外，板球可以说是他最关心的对象。他不仅自己打，而且天天注意板球各种比赛的结果及得分情况，以致著名经济学家 J. M. 凯恩斯（ J. M. Keyes，1883—1946）说，要是哈代每天花半小时看股票交易行情像他读板球得分那样专注和认真，他早可以成为大富翁了。

哈代这种健康的生活到 1939 年打上了终止符。1939 年他突发心肌梗塞而不得不放弃自己喜爱的运动。第二次世界大战爆发更使他又回到一次大战时的心态。他的反战观点没有改变，他的情绪更加抑郁，他的一位密友的惨死更使他忧伤，这一切的共同作用使他的数学创造性也逐步丧失了。在这样的心境之下，他写了《一位数学家的自白》（1940），整理出版了《拉曼努詹》（1940），许多朋友特别是斯诺离开剑桥去白厅参加战时工作尤其使他感到孤独。他一生未婚，由他的妹妹照顾他的生活。有一次斯诺来时劝他写下上次大战时罗素及三一学院的故事，哈代本来觉得这是早已过去的事情，斯诺等人的目的是让哈代干点有意义的事排遣烦恼。1942 年《罗素及三一学院》问世，但只在私下流传，这也是哈代对学术界历史的一个贡献。斯诺还劝哈代写另一本小书《板球场一日》，记述他一整天看板球比赛的心境，然后展开来论述比赛、人的本性乃至生活本身。哈代以前曾多次答应写，但是最终没有写成。斯诺在整个二次大战在伦敦工作时，都借住哈代的单元房，但他来看望哈代时，哈代从来不问他的工作，这反映了他对战争的厌恶。

1942 年哈代从教授席位退休。这时他除了和里特伍德合作继续以前的研究之外，还和他的学生罗果辛斯基（W. W. Rogosinski）一起研究傅立叶级数，他们合著的《傅立叶级数》于 1944 年问世。他的最后一本著作《发散级数》于 1949 年他去世后出版，这是他从一开始数学研究就感兴趣的题目，也是他半个世纪研究的总结。

战后哈代的身体并没有好转，情绪仍然低落，但他听说斯诺回来写书时非常高兴。他说，对于一个严肃的人来讲创造性的生活是唯一的生活，他自己仍想恢复原先那种创造性的生活，但是已经不可能了。1947 年夏，哈代病重，连从房间里走到厅里都很吃力。他收集巴比妥片（一种安眠药），企图自杀，但没有成功。哈代的另一位密友、希腊文教授罗伯特森（Donald Robertson）要求斯诺常来看他，跟他谈谈。的确，躺在病房的哈代，需要有人帮他。斯诺差不多每个星期都去看他，而且总是谈起板球，这几乎成了他死前唯一感兴趣的话题。哈代的话不多，但每一次都谈到死，他不怕死，准备好面对死神来临，但他静心等待，不再尝试自杀。1947 年 11 月，他听说皇家学会授予他最高荣誉——柯普莱奖章，他咧嘴作出一个神秘的微笑， 这是他住院时很难得见到的。 他意识到这是他人间喜剧的终点，“当人们急于要给你什么荣誉之类的东西时，这是能得到的唯一的结论。”1947年12月1日清晨，他突然去世。去世前，他还想知道板球比赛的得分。

哈代出生于维多利亚的极盛时期，许多英国人都把那段时光当作太平盛世来回忆，充满留恋之情， 但是他壮年时期却是两次大战及其间歇期。 这是个科学、 数学、 艺术、 哲学……总之是人的创造性无比高扬的时期，广义相对论及量子力学就是这个时期的产物，可是其背景却是社会、政治、经济的大动荡，从共产主义到法西斯主义，从国际主义到国家主义，从自由放任到国家干预，都要求人们面对，作出选择，而像哈代那样的专家，完全可以躲进数论这个象牙之塔里去。哈代与当代许多狭隘的数论专家不同，对于专业外许多事物有着极大的热情，对于几乎所有人类活动都有着明确的好恶和取舍，真正可以说是爱憎分明。梯其马什曾列举如下：

喜爱：

1. 板球和各种球类运动。

2. 美国，虽然可能他只接触到其光明的一面。

3. 斯堪的纳维亚，其人民和他们的食物。

4. 侦探故事。

5. 英国、法国好的文学作品，特别是历史及传记。

6. 散步及爬山，特别在苏格兰和瑞士。

7. 谈话。

8. 奇特的小纸条游戏，如列举出所有名人、他们的名字以某些字母组合打头或者他们都属于某个国家、某个城市或某个学院。他能在旅馆里或散步中一玩玩几个小时。

9. 妇女解放及妇女受高等教育（虽然他反对授予牛津妇女以大学正式成员资格）。

10. 《泰晤士报》的纵横字谜。

11. 太阳。

12. 对所有事情都井井有条，除服装之外。他有一个大的工作室，有许多图书还有成堆的论文散在房间各处，但是他知道什么东西放在哪里以及某本书在书架上的精确位置。

13. 各种年龄和各种类型的猫。

憎恶：

1. 所有的流血运动，战争，各种的残酷行为，集权政府的集中营以及其他。

2. 机械的小玩意儿，他从来不用表或自来水笔，除非在非打不可情形下才打电话。他的通讯主要靠预付电报及明信片。

3. 镜子，他的所有房间都没有镜子，他每次住旅馆，走进房间第一件事就是用浴巾把镜子盖上。

4. 正统宗教，虽然他有几位宗教界朋友。

5. 英国气候，除非是炎热的夏天。

6. 狗。

7. 羊肉——这是温彻斯特学校的遗产，那时他们按照规定一星期吃五天羊肉。

8. 作为一个阶级的政治家。

9. 任何一种赝品，特别是精神的赝品。

   
   

他经常说，他的上帝是他的敌人，这种态度在英国也被认为是大逆不道的。他甚至连教堂都不进，按规定是需要进入教堂选举新学院的院长，他因此也不参加。在政治上，他反对法西斯主义，在他表示的六个愿望中，有一条就是处决墨索里尼。他对资本主义制度也极为反感， 这与他激烈反对有用的数学是有关系的。 他明确地反对种族政视， 1934年德国数学家比勃巴赫 （L.Bieberbach，1886—1982） 在1934年配合纳粹的宣传， 大谈人种类型与数学的关系，把纳粹特别加以宣传的人种学与种族心理学应用到数学中去。哈代马上起来在《自然》上发表文章据理力争，痛斥这类谰言。但也可能正是这种态度，他也没有成为一名左派。

既然哈代对于任何事物都有自己的看法，对于他最喜爱的数学当然也不例外。关于数学的观点一般可分为两个部分：一是对数学本身的看法，也就是数学是什么？二是对数学与社会关系的看法，也就是数学的社会功能如何？我们应该发展什么样的数学？在后一方面，哈代代表一种极端的观点，我们可以称之为“哈代主义”。在《一位数学家的自白》中他说“我从来未做过任何有用的事，既没有给世界带来欢乐，也没有带来灾难。”他讲这话时绝对没有任何抱愧的心理，相反，他是以此为荣的。不仅如此，他在纯粹数学与应用数学之间划一条界限，他宣称，真正的数学就是无用的数学。他激烈反对应用数学。他说“的确存在许多应用数学的分支，例如弹道学和空气动力学，发展这些学科是为了战争……这些分支没有一个可称得上是‘真正的’数学。实际上它们丑恶之极，令人极端反感，枯燥无味得让人受不了，连里特伍德也不能让弹道学变得让人能看得过去，要是里特伍德都不能做到，那谁还能做到呢？”

实际上，从美学角度来看纯粹数学的数学家是不少的，后来的布尔巴基学派以及许多大数学家都是这么看的，而且他们所搞的数学要比哈代的解析数论漂亮得多。他们以纯粹数学自豪，把应用数学家看成二等公民是不难理解的。但是哈代的想法有着更深的考虑，实际上，他反对一切应用科学，他在 1915 年说得很明白，“一门科学叫作有用的，如果它的发展或者更加重财富现存的不均衡状况，或者直接地促使人类生存的毁灭。”他后来观点有些改变，承认科学不全是为非作歹，也可以为善造福。但他认为数学特别是数论的确是唯一一门出淤泥而不染的纯粹科学，也就是任何坏事决怪不到数论头上。他特别反对那种普及的、有用的数学，这是针对霍格本的， 霍格本（L.Hogben，1895—1975）是位左派，他写过一本《百万人的数学》 （1936），倡导大家都懂的、有用的数学，而哈代斥之为无聊的数学。哈代则提倡高级的数学，他称之为真正的数学，只有少数人能欣赏及创造的数学。

他首先提出的问题是数学是否值得去干？他说这个问题分为两个方面：一是他做的工作是否值得干，二是他为什么去干。他首先回答第二个问题，他说标准的答案有两个，一是它是我能干好的唯一事情”，一是“我没有什么事干得特别好，我碰巧干了这事而没有机会干别的事”，这里他强调了数学是年轻人的事业，没什么人过 50 岁还能取得重大数学突破。

他对第一个问题的回答是：

1. 数学的“无害性”，他说“研究数学，即使不能获利，也是一种完全无害和纯洁无瑕的职业”。

2. 少数人浪费时间去搞数学不能形成很大的灾难。

3. 数学成就的永恒性。这是他引以为荣的动机。有了这些理由，加上三个推动力——智力上的好奇心、职业上的自豪感以及野心勃勃的志向，会使有才干的年轻人走上研究数学的道路。

   
   

这就是哈代主义的实质。

有意思的是，哈代去世 30 年后，有人发表文章“应用数学家哈代”，用哈代自己的工作反驳哈代自己的观点。1908 年哈代在美国科学杂志《科学》上发表一篇小文章，这篇论文在数学上极为简单，但其结果却是群体遗传学的基本定律——哈代-魏因伯格定律。说来这也是科学史上重要的一页，这里只能讲个梗概：1900 年科学史上重大事件除了普朗克的量子理论之外，就应该说是孟德尔定律的再发现。与许多科学史的叙述不同，1865 年的孟德尔定律被科学界接受远非一帆风顺，当时不仅有激烈的反对者，而且在拥护者阵营当中也不乏在这个方面或那个方面反对孟德尔的科学家，有的人反对孟德尔定律本身，有的人反对遗传因子理论（基因概念的前身），有的人干脆就讨厌孟德尔的数学。

在英国，以卡尔•皮尔逊（K.Pearson，1857—1936）为首的生物统计学派激烈反对孟德尔的理论，他们引进先进的统计方法，倡导连续变异学说。而他们的对立面贝特森（W.Bateson，1861—1926）则倡导非连续变异学说，而孟德尔理论的再发现，无疑为他们提供理论及实验基础。他们争论的焦点是：变异是如何遗传到后代的？换句话说，显性基因与隐性基因的比例是否每一代发生变化，也就是说，很罕见的基因最后是否会消灭掉？贝特森的合作者，孟德尔学派的代表人物潘耐特（R.C. Punnett，1875—1967）虽然意识到生物统计学派的比例变化观点不对，但没有把握，于是就去请教同在剑桥工作的哈代，哈代立刻就推出：在随机交配的大群体中，显性基因与隐性基因的比例在每一代均保持恒定，除非受到外界干扰使其改变。因此即便是最稀有的基因形式也可以保存下去。由于英国的权威杂志《自然》（Nature）把持在生物统计学派的手中，潘耐特劝哈代把文章投向孟德尔主义流行的美国相应杂志《科学》（Science）。1908 年，这篇只有两页的论文发表了。潘耐特在他 1911 年版的《孟德尔主义》中把这规律正式命名为哈代定律。但是，几乎同时德国斯图加特市的医生魏因伯格（W.Weinberg，1862—1937）在德国刊物上发表同样规律，这一直到 1943 年才为斯特恩（C.Stern）注意到，其后才称为哈代-魏因伯格定律。实际上，美国生物学家卡索（W.E.Castle，1867—1962）在 1903 年也发表过同样的见解。 哈代的初等数学对生物学的影响是不能低估的。 潘耐特求教于哈代并没有到此为止，哈代还帮他写过另一篇著名论文“消除弱智”（1917），其出发点是这样的，既然随机杂交不能消除掉“坏”基因，通过人为或环境的干扰，例如非随机交配、选择、迁移等方法可以最终消除掉某些稀有基因，如果这样，基因频率的减少速度为何？哈代给他一个公式，告诉他这也并不快，而且越来越慢。拿弱智来说，通过选择交配方法，由 1％降到 1‰（千分之一）需要22代， 由0.1％降到0.01％再需要68代， 由0.01％降到0.001％又需要216代……，这是哈代不自觉的通过应用数学对生物科学作出的贡献。正是这些他认为不起眼的想法，使他的名字远超出纯数学的范围而对人类做出利他的贡献。

这个故事仿佛是个小小的讽刺。但是哈代与另外两类数学家或科学家不同，一类主张为数学而数学，是因为他们热爱数学，把它当成唯一的价值，当成逃避一切世间喧嚣的象牙之塔，他们不考虑他们所钟爱的学科与社会的关系，这是完全消极的态度；另一类是功利主义者，他们考虑他们所搞的东西与社会的关系，也特别认识到这给自己带来的好处，这是一种入世的积极态度。哈代身处乱世，他对为什么要搞数论希望有一个让自己满意的答复。当时各种思潮从左到右，纷纷扬扬，像贝尔纳（J.Bernal，1901—1971）等人明确地把苏联的科学看成未来科学的方向，有的“剑桥左派”如菲尔比等甚至成为苏联的间谍。但是哈代仿佛意识到他们必将吞下的苦果（正如海尔登（J. B. S. Haldane，1892—1964） 无法把他的科学同李森科之流的意识形态相调和），他采取一种积极的消极态度，他采取一种袖手旁观的不合作态度。不过，正好在欧战正酣的 1940 年抛出《一位数学家的自白》真是不合时宜，难道越来越多数学家参加战时研究有什么不对头吗？而且从那时起，包括数论的所有数学分支，无论在战时还是在平时都越来越有用。对此哈代主义无能为力，一点办法也没有，这的确是哈代的悲剧，也是哈代式的悲剧。

参考文献：

• G.H.Hardy, Collected Papers, Ⅰ - Ⅶ , 1966—1979, Oxford: Clareadon Press.

• E.C.Titchmarsh, Godfrey Harold Hardy, Jour.London Math.Soc, 25, 2, 81-101（1950）

• L.S.Bosanquet etc, Some Aspects of Hardy's Mathematical Work, ibid, 102-138.

• G.H.Hardy, A Mathematician's Apology 1940, Cambridge Universtry Press, 1967 年版附有C.P.Snow 的长序。

• G.H.Hardy, Ramanujan, 1940, Cambridge University Press.

• L.Young, Mathematicians and Their Times, 1981, North Holland.

• C.R.Fletcher, G.H.Hardy-Applied Mathematician, Bull IMA, 16, 2/3, （1980）

• J.D.Bernal, The Social Function of Science 1939.（1944 年版中译本《科学的社会功能》，商务印书馆，1982 年）。

• 安德鲁•博伊尔：《背叛之风》，新华出版社，1981。

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