【文章连载】数学王子高斯的成长故事（第四章）

所以说数学就是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，让赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄静智慧；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。

——Proclus

• 豪华配置的Carolinum学院

由于公爵的支持，1792年2月差不多15岁的高斯就读Carolinum学院(现为Braunschweig University of Technology，有一万三千在校大学生，该大学的其中一个学院就叫Carl Friedrich Gauss学院)。当时，这个学院比大学要低一个级别，但是和现在的高中又有些不一样。一方面，Carolinum学院要为学生们今后从事各种职业打下基础，另一方面又非常重视对人的知识、性情和格调的培养。对于贫寒出生的学生，只有足够优秀才有机会从Carolinum学院毕业后进一步上大学。在这里，可以学习音乐、雕塑、击剑、骑马和玻璃打磨等。更重要的是，还要学习哲学、古现代语言、文学、历史、统计、法律、数学、物理和自然史等。在这所学院聚集了一批有学识的教授。注意我们这里用到了“教授”这个词，因为这些人实际上在大学也是可以当教授的。他们和中国高中的老师不一样，他们除了教书外，也稍稍做一些研究。从这个意义上讲，可能当今世界还无法找出这样的中学。

有些讽刺意味的是，高斯经历的这段教育之优异是现代社会绝大多数人难以企及的。再过几十年，或许人们会推动一个宏伟的计划，即鼓动一些教授到中学教书（或兼职教学）并同样保持科研的热情。有趣的是，这种教授对少年教育的回归在哈利·波特的系列故事中得到了梦幻般的实现。读过哈利·波特故事的人都知道到霍格沃茨魔法学校的老师们几乎都是知名教授，比如最关心他的那位变形学教授米勒娃·麦格，不时与哈利·波特产生冲突的魔药课教授西弗勒斯·斯内普。这大约也是哈利·波特故事如此风靡的一个原因，没有人不梦想从小得到教授们的指导啊。

根据统计，仅仅在18世纪末这段时间，在高斯这一辈人中，Carolinum学院还培养了Bartels、 Ide、Illiger和Dräseke(后来成为著名的演讲家)。除了Illiger外，其他几个全是贫穷出身。所以这个学院并不是贵族学校，而是培养人才的学校。在现代社会，如果有这样豪华配置的教授来全职教中学的话，不太可能有穷孩子能够读得了的，就算他／她的天赋比高斯更出色。

这些教授们可能在直接培养高斯方面没有发挥决定性的作用。但是他们做的两件事却决定性地影响了高斯。

第一件事是他们建立了一个浓厚的追求知识、崇尚思辨的氛围。在这里选什么课有非常大的自由度，教授们也会特别在这方面给予指导。教授不太会上课时去登记谁选了这门课却不来上。

第二件事是教授们为图书馆充实了大量的图书，而且他们也知道一些科学上的最新进展。

由于这两件事，高斯可以一面迷恋于语言学，一面扎根于牛顿、欧拉（1707-1783）和拉格朗日（1736-1813）等巨人的科学世界。 

• 打下坚实的数学基础

对于这时的高斯而言，欧拉刚刚去世，而拉格朗日还活在世上。因此，高斯通过学习牛顿的工作掌握微积分后，已经在那个年代学习了非常新的一些科学进展。考虑到Carolinum学院提供的学术氛围和条件，要掌握微积分只要迷恋数学其实多数人都是可以做到的。当然，高斯毕竟与常人有些特别，可能最特别之处在于他开始慢慢相信自己可以在数学上有重大发现，预感自己可以改变世界。这种逐步建立的信心和勇气大约才是高斯和别人最大的不同之处。我们后面还会提到，高斯十九岁时会建立只属于自己的数学日记。

尽管Zimmermann就在Carolinum学院授课，但是高斯基本上都是在自学数学，碰到一些问题时Zimmermann会很乐意和高斯进行讨论。尽管高斯主要靠自学获取数学知识，Zimmermann的指导和数学讨论是非常重要的。在Carolinum学院，同学们时常羡慕地看到Zimmermann教授与高斯一边散步、一边激动地探讨问题的情形。成名后的高斯不断提到这种指导和数学讨论对自己的巨大帮助。

有了中学时的数学基础和境界，没有同学可以和高斯的数学相比。在同学中，至少就数学而言，他仍然是狼王。对于牛顿、欧拉和拉格朗日的著作，高斯在中学就接触过。但是只有在Carolinum学院，他才真正有机会有充分的时间认真研读。在中学时关于素数表的痴迷代表了一种境界，但是要在数学上作出巨大贡献，唯有对牛顿、欧拉和拉格朗日等人著作进行深入专研后，才可以扎下根来。

印度有一个数学天才叫拉马努金（1887－1920），少年时他在数方面的境界可能比高斯还要高，可惜由于多种原因对一些必须要掌握的现代数学知识相对缺乏了解，最终无法适应主流的数学研究特点，尽管他也做了一些特别有趣的工作。

要对这些巨人的知识进行消化，对任何人而言都不是一朝一夕的事情。有的所谓天才宣称一两个月就读懂了微积分。这只表明是一种对微积分的肤浅认识。就算是牛顿也没有为微积分建立严格的数学基础，牛顿之后人们花了上百年时间才建立起严格的数学基础，并拓展到很多方面。高斯学微积分学了多长时间呢？从中学到Carolinum学院以及后来的大学深造，高斯就一直没有间断过这方面的学习和思考。对于基础科学而言，那些细小的东西才包含了通往未来的真理。因为正是对这些细小东西的推敲，才有可能发现问题所在，并引向新的领域。

这同样适用于欧几里德几何。高斯从中学到哥廷根大学就没有间断过对欧几里德几何的学习和思考。其实，总体上讲，欧几里德几何也就对应于现代高中那点几何。由于对欧几里德几何细节的追求和整体的把握，高斯才勉强地也成为非欧几里德几何的一个开创者之一。为什么说勉强呢？因为高斯在这方面勇气还不够，他不敢公开就非欧几里德几何表示支持。

• 初显身手

对于高斯而言，中学和Carolinum学院的学习基本上无法分割。在中学时就思考的那些问题仍然萦绕在心中。但是，这时的高斯基础更扎实了，也有机会做一点实在的研究。概括以来，比较特别的主要有如下几个方面［没有耐心的读者可以暂时跳过下面的几个简单介绍来尽快满足你对高斯成长故事的好奇］。

（1）二次剩余定理

我们这里不将对此给予特别介绍，很多年后高斯在这段时期埋下的关于数论的种子将在他的传世巨著《算术探讨》中发扬光大。有兴趣的读者可以自个去查阅相关的知识和历史。

（2）误差的概率定律

高斯对误差的思考涉及非常朴素的思想。如果你用一把完美的尺子去测量桌子的长度，显然你只测量一次的话，你可能没有把握一定得到最准确的值。这时，数学或物理老师通常会要求学生们去测量很多次。于是，你会得到一系列有些不一样的结果。这时，一般而言，出现次数最多的那个结果就被认为是最准确的测量结果。而且，你还会发现，偏离实际值越远的结果出现的次数越少。另外一个有意思的结果是，偏离实际值（即误差）的概率分布（即不同偏离值对应的统计次数）是对称的。 这几个性质拉普拉斯早在1774年（高斯还没有出生）就发现了。

高斯还考虑了这样一个问题：如何更定量地描述这种误差分布的性质呢？这个问题可能最早被一个美国数学家部分解决了。美国数学家Adrain(1775-1843)发现了一个很简单的函数来描述这种误差的分布，这个函数人们后来称为高斯函数。

在工程界和物理研究中，高斯函数大约是最常用到那些函数之一。那些在实验室里熬夜的研究人员，当他们反复测量得到了大量的结果后，通常他们干的第一件事就是用高斯函数来拟合以便得到最好的测量值并明确实验的误差范围（更严格地讲，这里指偶然误差。还有一种误差叫系统误差，这种误差可能是由于你测量桌子时的那把尺子有些问题，比如发生了伸缩引起的。）。

（3）最小二乘法

我们设想有一天，一个太阳系内的小行星意外被望远镜发现了，于是人们可以在不同时刻记录下它的运动轨迹，这样的记录运气好的话可以持续好多天。可是，天气忽然变糟糕了，而且持续了很多天。等到天气好转后，我们却再也找不到那颗小行星了。

这时我们该怎么办呢？数学和物理相结合的威力就可以发挥了。我们知道，小行星围绕太阳运动满足牛顿万有引力定律，如果在某个时刻知道它的位置和速度的话，我们就可以原则上预测它今后随时间变化的运动轨迹。从记录来看，我们设定最开始记录的位置为初始位置，如果我们能够知道初始速度的话，就可以知道它未来的整个运动了。不同的初始速度会得到不同的轨迹，那么哪一条轨迹最合理呢？幸好我们已经记录下了一系列的数据，于是可以想象，如果初始速度推断合理的话，已经记录下来的数据就应该和这个初始速度对应的轨迹偏离最小（读者可以比划一下如何在数学上去定义偏离最小这个术语）。由此我们就可以得到最可靠的初始速度，从而整个随时间发展的最可能的轨迹就可以得到了。于是，我们就可以预测在哪个方向可以找到那颗丢失的小行星。这就是最小二乘法要干的事情。若干年后，高斯让人们重新发现谷神星的计算将让高斯的名字在科学圈迅速扩散。关于这一故事，我们后面还会提到。

当一颗导弹飞来时，最小二乘法就会被用来预测它会飞到什么地方。为了尽量避免地球被大的陨石碰撞导致灾难性的后果，人们开展了若干计划来发现和跟踪那些太阳系中有潜在威胁的天体。由于数量太多，人们不可能对每一个这样的天体都一直不间断跟踪。这个时候，最小二乘法对未来轨迹的预测就可以发挥重要作用了。在工程界，人们得到一些数据后会经常用最小二乘法去拟合出曲线。这个方法在很多图片处理的软件中加以应用，甚至美容手术中的那台电脑上肯定也会有最小二乘法在不断地计算如何让你变得更加漂亮。

高斯十八岁时大约第一个发展了最小二乘法，而法国数学家Legendre（1752－1833）独立得到了最小二乘法并第一个发表了这个方法。对于精通微积分的人来说，只要意识到上面例子中通过有限的观察数据确定轨迹这类具体的问题很值得研究，并不断努力的话，很多人都是可以得到最小二乘法的。但是，想到这个问题并着手去开展研究反而是极为难得的。在科学研究中，意识到什么问题重要比会做复杂数学推导是一件更需要思想和才气的事情。这种眼光有的科学家一辈子都不会具备，尽管他可能非常非常刻苦。杨振宁先生曾在第22届国际科学史大会上所作的大会报告中对爱因斯坦有一个评价：“他的新眼光改写了基础物理的发展进程”。

（4）高斯素数定理

上一章，我们讲到高斯如何耐心地核实Lambert编写的一本素数表。我们甚至认为这是高斯达到数学至高境界的一个标志。通过这本素数表的分析，只要高斯不是傻子，他一定会发现随着自然数的变大，素数越来越稀少。很多人大体上知道这个规律后就去干别的事情去了。可是，高斯的眼光在于他问了自己这样一个问题：既然素数随着自然数的变大越来越稀少，那么这种稀少的变化会有一个定量的规律吗？

有了这样一个问题，痴迷的高斯就开始统计小于某个自然数x的素数个数f(x)。比如，x等于10时，素数有2,3,5,7这四个数。我们于是得到f(10)=4。只要你耐心，你还可以发现f(100)=25，f(1000)=168等等结果。大家还记得刚才介绍的最小二乘法吧。有了这些统计的结果，高斯就去寻找最合适的函数f(x)来最好地符合那些统计结果。这有点需要灵气。高斯熟知那些通常函数的特征，就像玩积木一样，高斯要从那些通常函数中挑选合适的函数并拼装起来最佳满足那些关于素数个数的统计结果。高斯连Lambert编写的素数表都可以从头核实到尾，这点耐心当然是有的，尽管他玩拼图游戏未必擅长。

结果高斯发现两个很常用的函数，线性函数y1(x)=x和自然对数函数y2(x)=lnx拼接起来刚刚好，即当x很大甚至趋于无穷时， f(x)≃x/lnx。难以琢磨的素数竟然满足这么简单的规律。【这种函数拼接的方法还会导致人类巨大得多的科学革命，那就是1900年时普朗克发现量子的历史性事件。】在这个例子中你一定会联系到美妙的音乐。据说，当代数学天才、澳大利亚数学家陶哲轩（1975年出生）在一次公众演讲中介绍一种对素数定理的证明方法时就宣称这是聆听素数演奏的音乐。的确，该证明方法用到了傅立叶变换，而傅立叶变换用于分析乐器发出的音乐所包含的各种频段实在是最合适的方法。顺便指出的是，在高斯发现素数定理之后没有几年，Legendre也独立得到了类似的结果［晚年高斯时常感叹Legendre总是能够独立发现那么多自个也发现了的东西］。当然，对于这样的问题，没有理由只有高斯能够发现。事实上，科学规律和科学发现的方法是普适的。科学的发展快慢、步调会受到巨人的影响。但是只要人类文明长存，那些科学规律总是会被发现的，而且这些科学规律仍然是一样的。

特别有意思的是，上面列举的工作中后三个都不是简单地把数学看作抽象的东西来理解，而是带有数学实验的特点。这种朴素的思维方法贯穿了高斯的一生，也是为什么高斯可以成为数学王子最重要的原因之一。

高斯在中学时达到了数和灵魂的融合。在Carolinum学院，高斯没有受到学究气的丝毫影响，逐步建立起独到的科学眼光以及把抽象的数学具体化的朴素思想。这些为高斯成为数学王子打下了坚实的基础。当然，刚才介绍的高斯的几个研究还不需要很深的数学功力。高斯要成为巨人还需要其它的品质，我们将在后面进一步介绍。

• 孤独思考的数学少年

遗憾的是，在我手头的资料中，关于Carolinum学院时期高斯的个人故事并不多。但是可以肯定的是，如果说在St. Katharines学校高斯还需要借助别人作为智力对手来提高自己的话，在中学和Carolinum学院高斯所达到的境界使得他只要有物质条件和藏书丰富的图书馆，他就可以孤独地走下去了。这个蜕变是高斯在中学和Carolinum学院所完成的。那些了不起的科学家，几乎都完成了这样一个蜕变过程。科学需要团体、交流、科学文化氛围、图书馆和物质基础。但是有了这些之后，能否孤独寂寞地奋进则是看个人的造化和修为了。

爱因斯坦在大学时非常积极参加甚至组织了关于哲学和科学的小团体活动，但是爱因斯坦的巨大成功仍然依赖于他隐于世间、孤独思考的境界。有了这种境界，爱因斯坦才可能成为绝顶高人。有的伟大科学家，表面看起来一直都似乎处在热热闹闹的状况：大量有才华的年轻人围着他转，实验室需要他去规划，世界各地邀请他去做报告，可是他还是做出了伟大贡献。这似乎和刚才所说的隐于世间、孤独思考的境界相矛盾。其实不是这样，热热闹闹的状况是在白天其他人体会到的。可是到了晚上，到了完全属于自己的时光，这类了不起的科学家就开始沉浸在孤独的思考中。他可能产生了一个想法，但是还不成熟，还不到向任何人说的时候，这时他唯一可做的就是把这种想法隐秘地埋在心底，在漆黑、宁静的夜晚演算到黎明。一天天、一年年就这样孤单地思考，经历一次次的失败，忽然一切都豁然开朗，于是我们又见证了伟大工作的诞生。当代科学家在孤独思考探索方面的一个最传奇典范大约就是俄罗斯数学家佩雷尔曼。

上面所说的隐于世间、孤独思考的境界正是浮躁的对立面。现时代的中国科学，如果杜绝不了浮躁，其实是不能称作是科学的。这一点，大约中国的科研工作者需要向中国的围棋大师学习一下什么叫境界。当然更直接的学习对象就是历史上那些伟大的科学家。科研做到一定的程度就会形成一种习惯。到了一定的年纪，已经很难完成年轻时就没有完成的境界修炼。科学上至高境界的修炼，大约只能期待现在和未来的那些青年人了。

这种境界其实也不必想得过于神秘，这种境界是在长期的修炼中完成的，而不是上帝先天赋予的。高斯对素数表的计算和核实正应了熟能生巧这个成语故事。在各行各业，都有很多人达到了这种境界。从典雅的围棋大师到庖丁解牛的那个杀牛的，几乎无处不在。中国古人对庖丁解牛这个故事的推崇正是对境界追求的强调。

需要指出的是，这种境界要转化为对科学真理的发现需要时代的科学文化基础。老子、庄子从境界上讲修炼到了极致，但是由于当时缺乏数学方面的逻辑基础，所以只能创立朴实但是缺乏科学基础的哲学。这就和柏拉图在推崇数学的基础上发展哲学是很不一样的。显然，柏拉图的哲学理念更有助于人们进一步实在地研究数学。中国古人并不缺少对境界的追求，缺少的是对抽象数学和自然规律的追求热情。这种局面从古至今都是这样。

• 结语和展望

经过Carolinum学院的学习，高斯经历了少年的过程。在这个过程中高斯开始品赏研究的乐趣。但是，高斯还没有名扬天下。对于高斯而言，进一步的历练是必不可少的。公爵已经表示愿意资助高斯到大学深造。高斯在数学和语言学之间还有些犹豫不定，他在这二者如何做出取舍呢？高斯想到德国最好的大学深造，他能否实现这个梦想呢？