第六章

在我看来，一个人如果要在数学上有所进步，他必须向大师们学习，而不应向徒弟们学习。

——Proclus

最有价值的科学书籍是作者在书中明白地指出了他所不明白的东西的那些书，遗憾的是，这还很少本人们所认识到；作者由于掩盖难点，大多害了他的读者。

——伽洛瓦

• 回到家乡，艰难的开始

1798年9月，高斯结束在哥廷根大学的四年求学后，回到了Braunschweig。为了安心工作，高斯在外边租房。原因我们都知道，他的那个顽固的父亲鄙视高斯获取公爵的施舍搞数学研究。

这时的高斯21岁，这时的高斯已经确立了人生的伟大志向。但是，职业和生活的焦虑也开始折磨他了。我们知道大学毕业后，就得找一份工作，纯粹数学研究这个玩意并不那么直接有用。尽管高斯已经有了他自己认为的伟大数学贡献，但是人们还没有理由立即为他欢呼。毫无疑问，高斯回到家乡不是衣锦还乡，正十七边形的尺规作图问题发表在小杂志上，没有引起人们的广泛关注。就算人们知道了这个工作，也暂时只把它看作是一个花哨的数学发现，而高斯的其它想法也还停留在脑海和数学日记中。

Braunschweig的人们也有些不满的闲言碎语，毕竟高斯花了纳税人很多钱，而他似乎两手空空就回来了。更糟糕的是，人们似乎觉得他还完全没有打算去找一份实实在在的工作，比如会计、在St. Katharines学校当教师之类。基本上，好多人有深切的“伤仲永”之感。其实高斯在积极争取找一个相对固定的工作，可惜几次机会都失去了。高斯的父亲也对高斯很恼怒，尽管他母亲仍然用无尽的母爱支持高斯。

高斯只能再次求助于公爵。尽管高斯有些羞愧，但他还是相信公爵会给他支持。他在1798年9月30日写给Bolyai的信中说：“在我找到正式工作前，我有理由相信公爵将会继续提供他的援助。”很自然，Carolinum学院的Zimmermann教授已经在主动游说公爵继续资助高斯。

本来这件事不应该太困难。但是，据说由于公爵的父亲以前花费太大，公爵正面临破产。另外一个原因是，公爵不知道如何向人们交代高斯大学毕业了还要花纳税人的钱来专研数学。第三个原因是，公爵毕竟是封建社会的贵族。傲慢和无礼从小就被培养。财政上的烦恼让他那段时间除了主动召见的人外，不接见任何别的来访的人。后来，公爵终于让人带话给高斯，表示他仍然愿意资助高斯进行数学研究，并希望高斯拿到哲学博士学位。这也表明公爵还是迫切希望高斯能够有一个看得见的东西来交代多年的支持。其实这时的公爵还没有完全意识到高斯的交代将是自己成为不仅仅德国、不仅仅欧洲、不仅仅全世界，而是几百年一遇的科学巨人。若干年后，拿破仑的军队入侵德国。公爵奉命向俄国求助。俄国没有给予直接帮助，却念念不忘如何把高斯挖到俄国去。

从资料来看，公爵又过了相当长的一段时间才给予高斯资助。因此高斯这时处在相当尴尬的境地。高斯曾给Bolyai写信说自己基本上靠赊购过日子，而且未来的几个经济来源都破灭了。很多人在这种局面下承受不了压力，甚至会放弃对数学的追求。但是高斯不一样，一系列宏伟的数学规划正等着他去开拓，他正沉迷于将数学知识的边界大大推进。

• 博士论文

公爵让人传话给高斯希望他尽快拿到哲学博士学位。高斯在这种情况下，并没有急于写一篇论文来获取哲学博士学位,而是想非常严谨地做点那种可以改变科学边界的研究。在当时的欧洲，取得博士学位和现在的大学、研究所是很不一样的。你几乎可以在任何地方完成你的论文，然后提交给大学的教授们。他们审阅通过后，你就是博士了。当然，在18世纪这是可以做到的，也鼓励了独立科研的锻炼，研究成果也不会被别人霸占。

现代的大学和科研院所在授予博士学位方面则是另外一种机制。上完大学后，你得首先成为硕士，然后攻读博士。特别是在博士期间，一般而言，你需要在导师的指导下从事科研工作。或许你水平比导师还要高，但是因为导师和你在一起工作，而导师地位也比你高，因此最后你发表的论文通常导师也是共同作者，甚至还是更主要的作者，那怕是有的情况下导师完全不懂你在干什么。等到你发表了若干篇论文，也按步就班干了几年博士之后，导师就对你说开始写博士论文吧。博士论文写完后，组织一个答辩，通过后你就可以毕业了。经过这样漫长的过程，拿到博士学位后，运气好可以独立进行研究，相当一部分人还不行，还得通过博士后来进一步历练，证明自己能够独立开展工作。在西方，这时优秀的博士后就有机会独立开展工作，也可以自己建实验室、指导学生了。大量诺贝尔奖获得者就是这样成长起来的。在中国，这通常还不行，不是教授你多半不能成为博导，就算是教授你也未必是博导。不是博导的话，你就得帮人家带学生（建实验室绝大多数情况下必须得有学生），可是学生是人家招来的，挂在人家的名下，所以你得小心翼翼不要去贪功。

这样比较起来，高斯尽管有挨饿、找不到工作的危险，他其实比现代的绝大多数想搞科研的年青人幸运多了。这一点可能让很多人惊异，其实还真是如此啊。不仅仅是中国，整个世界可能都要考虑通过科学文化和制度的变革，让年青人的激情可以在科学世界中更好地发挥。

高斯的另外一个幸运是很多人尤其是公爵支持他，让他能够全身心从事数学研究。在当时的欧洲，这样的数学家恐怕不超过十个。高斯后来曾经谦虚地说如果其他数学家也有他那样的条件全职做数学的话，他们也可以作出同样多的重要发现。高斯这个话有一定客观的成分，但是也的确有些谦虚。因为是否全心从事科学研究也取决于痴迷的程度和改变知识边界线的勇气。

现代有很多科学家常抱怨没有时间做科研，尽管他已经拥有固定的职业，政府也出了工资和经费。这种抱怨部分反映了几乎所有国家都存在的制度问题，但是那些极端的几乎没有时间搞科研的科学家首先要自我反省。

和现代的学子比，高斯还有一个幸运的地方。当时，进入数学研究需要学的基础知识只要有高等一点的代数学、微积分之类就可以了。而由于过去两百多年数学的急剧发展，要进行数学研究，得学更多的东西，而且慢慢你就只能到一个很狭小的数学分支领域进行研究了。你想在数学上全才，几乎是不可能的。你到大学图书馆去看看书架上堆满的数学专著就知道了，你要再去看看有多少本数学期刊，你就会更加明确这一点。

因此，现时代搞数学比高斯的时代就是要难得多，要取得高斯那样巨大的成就也要难得多。但是如果你打好数学基础的同时，跨越那些狭小的数学分支，高高地去看看就像地球上交汇的无数河流的那些数学分支，抱有改变科学边界的那种决心的话，也还是有可能成为数学开拓者的。现代数学毕竟仍然有不少充满传奇的伟大数学家，比如陈省身、丘成桐、埃尔德什、佩雷尔曼、怀尔斯、陶哲轩等等。

高斯显然极其看中哲学博士这个称号，发奋多年，这是证明自己能力并改变科学边界的绝佳机会。高斯选择了代数基本定理这样一个大的数学问题。这个问题是很好理解的，但是人们已经奋斗了差不多两百年，还是没有解决，其中就包括高斯崇敬的欧拉和拉格朗日。后来，高斯在博士论文中还专门指出了欧拉和拉格朗日在证明代数基本定理犯下的错误。这个问题高斯已经思考了很多年，几乎与Bartels在St.Katharines学校学习讨论时，这个问题就一直种在心里。差不多快十年了，终于到了拔出才智之剑，来解开这个问题上面缠绕的无数绳结。

哥廷根大学的经历已经让高斯的数学能力非常强大，打下的数学基础极其坚实，也已经有了一点思想火化来解决这个问题。经过极其刻苦的大半年工作，高斯完成了博士论文并提交给Helmstedt大学（可以猜测公爵并不希望高斯到封地之外别的地方去答辩博士论文，比如哥廷根大学）。很自然，高斯的博士论文获得了极高的评价。1799年7月16日，高斯被授予Helmstedt大学的哲学博士学位。

高斯将论文拷贝了三十多份，并寄给世界各地他认为最值得给予评价的科学家。尽管这一博士论文从历史的角度是极为重要的，高斯也热切希望得到好的评价，但是高斯并没有得到很多热烈的赞誉。高斯还需要更多的贡献来引起数学家们的高度关注。高斯很快开始了一个极其宏伟的工作。那就是1801年发表的传世名著《算术探讨》。

• 不朽的丰碑

高斯在哥廷根大学最崇敬的巨人是牛顿。相信他反复研读过牛顿的巨著《自然哲学之数学原理》。如果说正十七边形的尺规作图问题是一个精巧的研究，博士论文涉及的是更深刻的研究题材的话，要跻身于世界最顶尖的数学家行列，高斯还需要证明和发展自己的数学功底。高斯企图通过《算术探讨》将整个数论带入到一个新的高度。历史上有些杰出的科学家意外发现了重大的工作后，由于功底不够会昙花一现，有的诺贝尔奖获得者就由于功底问题一辈子可能就做了一项开拓性的工作。高斯的雄心是 “改变科学知识的边界”，因此高斯完全不会满足于已经作出的那些工作。对他来说，以前的那些工作不过是开胃小菜，真正的科学发现之盛宴才刚刚开始。

其实1797年底高斯还在哥廷根大学就已经开始着手这个宏伟的计划了，但是毕业和博士论文让这个计划暂时打断了。 

得到博士学位后没过多久，1799年十月，高斯来到Helmstedt在Pfaff教授家租了一间房入住下来。Pfaff这个人我们以前提到过，他在哥廷根大学都有很好的声誉。高斯的博士论文，他也是名义上的指导老师。事实上，高斯回到Braunschweig后很快就拜访了Pfaff。和Zimmermann相比，他是一个更专业的数学家。高斯到Helmstedt主要有几个目的：一是在Helmstedt大学可以有更多的资料；二是可以和Pfaff教授讨论数学问题；三是可以避开那些闲言碎语。

高斯为了《算术探讨》极其刻苦。刻苦到什么程度呢？除了Pfaff教授，别的人几乎只能在晚上一小段时间看到高斯。

《算术探讨》涉及了很多高斯个人的研究成果，而且还将数论以新的形式加以了描述。 1801年9月29日，经过包括出版、经费、科学问题等很多的周折，高斯用拉丁文撰写的名著《算术探讨》终于出版了。 

Pfaff教授（1765－1825）在19世纪被认为是德国最杰出的数学家之一。Pfaff的老师就是哥廷根大学那个即懂诗又懂数学的Kästner教授。Pfaffian系统就是用他的名字命名。上百年后，他的思想在微分流行中加以了采用。提出著名的莫比乌斯带的莫比乌斯也是他的学生。

• 来自伟大科学家的赞誉

《算术探讨》的出版很快得到了那些同时代最杰出的数学家毫无保留的赞誉。高斯当年的偶像拉格朗日专门写信给高斯说：“仅仅《算术探讨》这一个工作就表明你已经跻身世界上最重要的科学家行列，最后一章涉及的内容是很长时间以来最漂亮的解析发现。”

就连法国科学家拉普拉斯都对高斯有极高的评价。拉普拉斯是个了不得的人。他既搞研究又参与政治，对拿破仑有很大的影响，后来还被封为侯爵。除了数学之外，他还从经典的角度第一个提出了黑洞。更神奇的是，他还猜测当时望远镜发现的一些星云并不在银河系内部，而是在银河系外，和银河系一样是星系。单单后一个猜测就比哈勃的发现超前了一百年之久。和拉格朗日相比，拉普拉斯对高斯有一个更有趣的评价：“Braunschweig的公爵在他的地盘上发现了比行星更重要的东西:一个依附在凡人身上的精灵。”几年后，拉普拉斯还会特别提醒拿破仑对哥廷根大学给予特别的重视，因为现时代最重要的科学家就在那里教学和研究。

拉格朗日和拉普拉斯都是数学领袖，因此高斯完成《算术探讨》后首先考虑在法国科学院发表。似乎任何伟大都得有点周折来增加故事的趣味性，高斯的这一请求被拒绝了。

1801年出版的《算术探讨》封面

《算术探讨》出版后引起的反响和高斯的博士论文形成鲜明的对照，因为《算术探讨》表明高斯已经跻身于有史以来最伟大的数学家之一的行列。晚年高斯有一个有趣的自我评价：“《算术探讨》属于历史。”晚年高斯的另外一个评价是：“在新的版本中，......，除了打印错误外，我不会改变任何东西。”可见年青的高斯治学之严谨。这也是高斯的数学日记中很多瑰宝没有发表的一个原因。高斯的科学发现太多，以至于他没有时间以最严谨的方式将这些发现全部写成论文。

尽管是纯学术著作，《算术探讨》很快就脱销了，以至于高斯后来的一些学生只好将书从头到尾手抄一遍。唯一的遗憾是出版这本书的书商破产了，高斯几乎没有从这本书中直接得到金钱上的任何回报。当然，这不过是一个趣事罢了。

• 上帝的恩赐
  

就在《算术探讨》出版这一年的1月1日，意大利天文学家Piazzi发现了谷神星。这个天上的星体将瞬间让高斯的声誉在整个科学世界广为传递。

1772年Bode猜测在火星和木星之间还应该存在一个行星。1800年，24个世界上最有经验的天文学家被邀请联合挑战来寻找这颗行星。Piazzi就在被邀请之列。

这正是一个发现行星的年代，就连公众对此都充满热情。很有意思的是，还没有收到这个邀请时，Piazz在1800年1月1日发现了一颗小行星，那就是谷神星。Piazz的观测一直持续到1800年2月11日（由于他生病的缘故，这一天观测到后就被打断了）。在这个期间，Piazz有24次观察到了谷神星。

Piazz在1800年9月发表了他的观察结果。可是这个时候，观察谷神星的天文条件已经不具备了。人们估计1800年年底应该可以重新发现谷神星。但是，经过了这么长的时间，人们不太知道它的具体位置，要重新找到它是非常困难的。很多科学家都开始考虑这个问题。若干科学家给出了预测，可是当人们朝着那个方向去寻找时，什么也没有看到。

1801年9月29日高斯的《算术探讨》已经发表。24岁的高斯正鼓足干劲想攻克别的科学难题。谷神星正是一个绝佳的机会。高斯通过发展他的最小二乘法，依赖于超强（应该可以说世界第一）的计算能力，经过几周的艰苦计算，高斯给出了他的预测。1801年12月31日，Zach和Olbers就在高斯预测的那个角度找回了谷神星！正好一年的轮回，上帝提供的谷神星仿佛只是为了证明高斯的伟大。高斯对于这个上帝的恩赐给予了积极的两个回应。一个是更积极介入到天文学的研究，甚至在公爵资助下负责建立了一个天文观测站；另外一个回应是高斯后来的小孩们都用天文学家的名字取名。

柏林和圣彼得堡都积极争取高斯前往就职。公爵将高斯的年薪从158 Thalers提高到了400Thalers，并主动表示资助天文台的建设。没过几年，年薪提高到了600 Thalers。高斯当然非常乐意表示继续留在Braunschweig。

上帝还会给高斯一个恩赐。这么多年以来，高斯除了科学还是科学。恋爱和婚姻似乎从不在考虑中。但是1803年，了不起的高斯在一个晚会上碰到了让他一见钟情的女人。高斯曾在给Bolyai的信中说：“我无法相信我有这样的好运碰到这个非凡的女人。”高斯还称赞她漂亮、温柔、聪明、接受过良好的教育。高斯就像所有单相思的男人那样，唯一担心的是她是否爱自己，自己如此卑微怎么配得上天上的仙女。高斯还不知道的是，这个天上掉下来的女子也正为传说中人们正为高斯介绍的一个富贵少女而苦恼不已。自卑几乎让她不敢答应高斯的求婚。当然，这点小小的顾虑在爱情面前是极为软弱无力的。1804年11月22日，28岁的高斯与Johanna幸福地走入了教堂，上演了数学王子和灰姑娘的童话故事。他们的相爱一直持续到Johanna因病去世。

• 结语和展望

  
  

我们已经不需要在这里去展望高斯的未来了，高斯已经不用担心他未来的职业和面包。高斯唯一关心的是如何将数学日记中的思想呈现给世人。这一年是高斯战胜数学、洞悉太空的奇迹年，这一年高斯才24岁。 很多年后，也有一个奇迹年，那就是1905年，那一年爱因斯坦26岁。下一章，我们将简单回顾一下高斯带给我们的精神财富。