什么是概率图模型：表示、推理与学习 | 集智百科 | 集智百科

图模型 Graphical Model，亦称概率图模型 Probabilistic Graphical Model（PGM）或结构化概率模型 structured probabilistic model，是一种用图表示随机变量之间条件依赖关系的概率模型。它们通常用于概率论、统计学，尤其是贝叶斯统计学和机器学习。

这是一个图模型的例子。每个箭头表示一个依赖关系。在这个例子中: D 依赖于 A、 B 和 C; C 依赖于 B 和 D; 而 A 和 B 相互独立。

常用的概率图模型大致分为两类：贝叶斯网络（Bayesian network, BN）和马尔可夫网络（Markovnetwork, MN）或者称为马尔可夫随机场。概率图理论共分为三个部分，分别为概率图模型表示理论，概率图模型推理理论和概率图模型学习理论。

其中：

• 图模型的表示representation是指：如何用图模型来将概率分布进行表示；
• 图模型的推理inference是指：在已知图模型的情况下，如何计算某一未知节点的概率；
• 图模型的学习learning是指：对图的结构和参数的学习。

贝叶斯网络

其中 pa(Xi)，是节点Xi的父节点集（节点的边际指向Xi）。换句话说，联合分布因子可以表示为条件分布的乘积。例如，上图中的图模型（实际上不是有向无环图，而是原始图）是由随机变量Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ联合概率密度因子为

如果模型的网络结构是无向图，则模型表示所有团的联合概率的因式分解。更确切地说，如果X{k}是随机变量X 在第k个团的状态（|Ck|是在第k个团中包含的节点数），那么联合概率满足：

概率图模型的推理方法主要分精确推理和近似推理两大类，而根据网络结构和查询问题的不同，概率图模型的推理方法可以分为三大类，分别是BN和MN的推理、混合网络的推理和DBN的推理，然后再根据查询问题的形式对每一类推理方法继续细分，下图着重介绍BN和MN的推理。

其中概率查询是计算后验概率分布P（Y|E=e），其中Y是查询变量集，E为证据变量集；MAP表示最大后验概率查询，也称最有可能解释查询，即求出非证据变量集的最有可能取值。

由于概率图模型的表示分参数表示和结构表示两个部分, 因此学习算法也分为参数学习与结构学习两大类。

贝叶斯网络模型学习

贝叶斯网络模型模型的参数学习，一般会假设结构一致，然后从样本数据中学习每个变量的概率分布。概率分布的形式一般会预先设定，如多项式分布、高斯分布和泊松分布等。贝叶斯网络模型的结构学习是贝叶斯网络学习的最主要的部分，此时贝叶斯网络的参数和结构都未知，需要从样本数据中找到与数据匹配度最好的网络结构。当确定网络结构之后，参数学习知识相对简单的参数估计问题。结构学习的算法主要分为三类：基于约束 (Constraint based, CB) 的学习算法、基于评分搜索(Scoring and searching, SS) 的学习算法和混合学习算法。

马尔可夫随机场模型学习

马尔可夫随机场模型的学习任务比贝叶斯网络模型的学习更加复杂。在马尔可夫随机场模型的参数学习中, 其配分函数耦合了结构中的所有参数，使得参数学习问题不能分解，不能分别独立估计每个局部参数。而且马尔可夫随机场的最优参数没有解析解，所以一般使用迭代方法求解最优参数，如梯度下降法。庆幸的是，迭代中的似然目标函数为凹函数，迭代方法能保证收敛至全局最优解。但是迭代中的每一步都需要在网络中进行推理，使得计算成本相当高。MN 的结构学习也需要计算划分函数，所以其参数学习存在的问题对结构学习有很大的影响。

其他类别

• 朴素贝叶斯分类器 Naive Bayes classifier，其中会使用单根树。
• 依赖性网络 Dependency network中会出现环。
• 树增广朴素贝叶斯分类器 Tree-augmented classifier 或简称为TAN模型。
• 因子图 factor graph是连接变量和因子的无向二分图。每个因子代表与其连接的变量有关的函数。这对于理解和实现信念传播算法很有帮助。
• 团树 clique tree或者联合树，是指基于团的树，一般是将有向图转化为树，减少计算难度，一般会使用联合树算法来求解。
• 链式图 chain graph 是既可以有向也可以无向的边，但是没有任何有向环（即，如果我们从任意一个顶点开始并依据任何箭头的方向沿该图形移动，则只要我们沿着箭头走了一步我们将无法返回到该顶点）。有向无环图和无向图都是链式图的特例，因此可以提供一种统一和泛化贝叶斯网络和马尔可夫网络的方法。
• 祖先图是既有有向边，也有双向边和无向边的图。
• 随机场方法
• 马尔可夫随机场也称为马尔可夫网络，是一个基于无向图的模型，图模型中很多重复的子单元可以用 “盘子表示法”（plate notation） 来进行表示。
  
• 条件随机场是基于无向图上的判别模型。
• 受限玻尔兹曼机是一个基于无向图上的二分生成模型。

该模型的框架为发现和分析复杂分布中的结构、简洁地描述结构和提取非结构化信息提供了算法，使模型得到有效的构建和利用。图形模型的应用包括因果推理、信息抽取、语音识别、l计算机视觉、低密度奇偶校验码的解码、基因调控网络的建模、基因发现和疾病诊断，以及蛋白质结构的图形模型。

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